平方和公式
平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。
此公式是冯哈伯公式(Faulhaber's formula)的一个特例。
J. Faulhaber 在1631年的Academiae Algebrae中发表的第一个正整数的幂和通用公式。
定理为:
其中，
是Kronecker符号,
是二项式系数，且
是第i个Bernoulli数。
公式
利用此公式可求得前n项平方和为：
n
前n项平方和
n
前n项平方和
n
前n项平方和
n
前n项平方和
n
前n项平方和
1
1
6
91
11
506
16
1496
21
3311
2
5
7
140
12
650
17
1785
22
3795
3
14
8
204
13
819
18
2109
23
4324
4
30
9
285
14
1015
19
2470
24
4900
5
55
10
385
15
1240
20
2870
25
5525
n=26，27，28，29......时
前n项平方和和为：6201, 6930, 7714, 8555, 9455,
10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140,
23821, 25585, 27434, 29370…… [1]
证明方法编辑
证法一 （归纳猜想法）：
1、
时，
2、
时，
3、设
时，公式成立，即
则当
时，
也满足公式。
根据数学归纳法，对一切自然数n有
成立。
证法二 （利用恒等式
）：
，
…………
.
求和得：
,
由于
（可由倒序求和得到）,
代入上式得：
整理后得：
证法三（
） ：
令
=
=
因为
所以，
证法四 （排列组合法）：
由于
，
因此我们有
=
由于
，
，
于是我们有
证法五 （拆分，直接推导法）：
1=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
...
(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]
n²=1+3+5+7+...+[2n-1]
求和得：
……(*)
因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²
代入(*)式，得：
此式即
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